Question

橢圓的左、右焦點分別為F₁(-1，0)，F₂(1,0)，過F₁作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.

（Ⅰ）若ΔABF₂為正三角形，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足,0為坐標原點，求證為鈍角.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當直線軸垂直時；②是當直線不與軸垂直時，都證明，可得結論．

試題解析：由橢圓的定義知，周長為，

因為為正三角形，所以，，為邊上的高線，      2分

，∴橢圓的離心率.        4分

（Ⅱ）設，因為，，所以    6分

①當直線軸垂直時，，，,

=， 因為，所以，為鈍角.    8分

②當直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，代入，

整理得：，

，

      10分

令， 由 ①可知 ，恒為鈍角.      12分

考點：1、橢圓的定義及性質；2、直線與橢圓相交的綜合應用；3、向量的數量積的坐標運算.