Question

（2012•煙臺一模）已知cos

π

3

=

1

2

，cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

，cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

，…，根據這些結果，猜想出的一般結論是

cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

．

Answer 1

分析：根據題意，分析所給的等式可得：對于第n個等式，等式左邊為n個余弦連乘的形式，且角部分為分式，分子從π到nπ，分母為（2n+1），右式為

1

2n

；將規律表示出來可得答案．

解答：解：根據題意，分析所給的等式可得：
cos

π

3

=

1

2

，可化為cos

1×π

2×1+1

=

1

21

cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

，可化為cos

1×π

2×2+1

cos

2×π

2×2+1

=

1

22

cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

，可化為cos

1×π

2×3+1

cos

2×π

2×3+1

cos

3×π

2×3+1

=

1

23

；
則一般的結論為cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

；
故答案為cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

．

點評：本題考查歸納推理的運用，解題的關鍵在于發現3個等式的變化的規律．