Question

已知a≥0，函數f（x）=（x²-2ax）e^x．
（Ⅰ）當x為何值時，f（x）取得最小值？證明你的結論；
（Ⅱ）設f（x）在[-1，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求兩個函數乘積的導函數，令其等于0，求出極值點，判斷單調性，進而求出最小值；
（Ⅱ）f（x）在[-1，1]上是單調函數，即其導函數恒大于等于或小于等于零，轉化為不等式恒成立問題，再通過構造函數轉化為求函數最值，利用導數的方法即可解決．

解答：解：（1）令f'（x）=0即[x²-2（a-1）x-2a]e^x=0∴x²-2（a-1）x-2a=0
∵△=[2（a-1）]²+8a=4（a²+1）＞0∴x₁=a-1-

a2+1

，x₂=a-1+

a2-1

又∵當x∈（-∞，a-1-

a2+1

）時，f'（x）＞0；
當x∈（a-1-

a2+1

，a-1+

a2+1

）時，f'（x）＜0；
當x∈（a-1+

a2+1

，+∞）時，f'（x）＞0．
列表如下：

∴x₁，x₂分別為f（x）的極大值與極小值點．
又∵

lim

x→-∞

f（x）=0；當x→+∞時，f（x）→+∞．
而f（a-1+

a2+1

）=2（1-

a2+1

）ea-1+

a2+1

＜0．
∴當x=a-1+

a2+1

時，f（x）取得最小值．

（2）f（x）在[-1，1]上單調，則f'（x）≥0（或≤0）在[-1，1]上恒成立．
而f'（x）=[x²-2（a-1）x-2a]e^x，令g（x）=x²-2（a-1）x-2a=[x-（a-1）]²-（a²+1）．
∴f'（x）≥0（或≤0）即g（x）≥0（或≤0）．
當g（x）≥0在[-1，1]上恒成立時，有
①當-1≤a-1≤1即0≤a≤2時，g（x）_min=g（a-1）=-（a²+1）≥0（舍）；
②當a-1＞1即a≥2時，g（x）_min=g（1）=3-4a≥0∴a≤

3

4

（舍）．
當g（x）≤0在[-1，1]上恒成立時，有
①當-1≤a-1≤0即0≤a≤1時，g（x）_max=g（1）=3-4a≤0，∴

3

4

≤a≤1；
②當0＜a-1≤1即1＜a≤2時，g（x）_max=g（-1）=-1≤0，∴1＜a≤2；
③當1＜a-1即a＞2時，g（x）_max=g（-1）=-1≤0，∴a＞2．
故a∈[

3

4

，+∞）．

點評：本題考查函數單調性的性質，導數在函數最大值、最小值中的應用，靈活運用分類討論思想與轉化思想是解決此類題目的關鍵，屬于中檔題．