Question

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2，
(Ⅰ)求點A到平面MBC的距離；
(Ⅱ)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)取CD中點O，連OB，OM， 則OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD， 則MO⊥平面BCD，所以MO∥AB， MO∥平面ABC，M，O到平面ABC的距離相等． 作OH⊥BC于H，連MH，則MH⊥BC， 求得，， 設點A到平面MBC的距離為d， 由得， 即，解得。 (Ⅱ)延長AM、BO相交于E，連CE、DE， CE是平面ACM與平面BCD的交線， 由(Ⅰ)知，O是BE的中點，則四邊形BCED是菱形， 作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC， ∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設為θ， 因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°， ，， 則所求二面角的正弦值為。