Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（Ⅰ）若 f(x)=1-

3

且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（Ⅱ）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=(m，n)（|m|＜

π

2

）平移后得到y(tǒng)=f（x）的圖象，求出m，n的值；
（Ⅲ）若存在兩個(gè)不同的x∈[-

π

3

，

π

3

]，使得f（x）=a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和與差的正弦公式將f（x））=

a

•

b

轉(zhuǎn)化為f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，依題意，利用正弦函數(shù)的定義域與值域即可求得x的值；
（Ⅱ）令y=g（x）=2sin2x，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得f（x）=g（x-m）+n，從而可求得m，n的值；
（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)f（x）=a的零點(diǎn)的概念，通過數(shù)形結(jié)合即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1
=1-

3

，
∴sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴-

π

2

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，
∴2x+

π

6

=-

π

3

，
∴x=-

π

4

．
（Ⅱ）∵函數(shù)y=g（x）=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n）平移后得到y(tǒng)=f（x）的圖象，
∴f（x）=g（x-m）+n=2sin2（x-m）+n=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴-2m=2kπ+

π

6

（k∈Z），且n=1，
∴m=-kπ-

π

12

（k∈Z），且n=1，
又|m|＜

π

2

，
∴m=-

π

12

，n=1．
（Ⅲ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
又x∈[-

π

3

，

π

3

]，

∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
-1≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，
又f（x）=a在[-

π

3

，

π

3

]上有兩解，
∴直線y=a與曲線y=f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴2≤a＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和與差的正弦公式與正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于難題．