Question

記關于x的不等式

3

x

＞1（x∈Z）的解集為A，關于x的方程x²-mx+2=0的解集為B，且B⊆A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先通過移項通分將分式不等式化為一邊為0且x的系數為正的形式，利用穿根求出解集即求出集合A．
（II）據B⊆A．分類討論寫出集合B，利用二次方程的判別式就B的各種情況求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）

3-x

x

＞0?

x-3

x

＜0?x(x-3)＜0?0＜x＜3，
又∵x∈Z，∴A={1，2}；
（Ⅱ）集合A={1，2}的子集有?、{1}、{2}、{1，2}．∵B⊆A，∴B=?；B={1}或{2}；B={1，2}．
當B=?時，△=m²-8＜0，解得-2

2

＜m＜2

2

．
當B={1}或{2}時，

△=m2-8=0 1-m+2=0

或

△=m2-8=0 4-2m+2=0.

，則m無解．
當B={1，2}時，

△=m2-8＞0 1+2=m 1×2=2.

?

m＜-2 2 或m＞2 2 m=3.

?m=3.
綜上所述，實數m的取值范圍是-2

2

＜m＜2

2

或m=3．

點評：本題考查分式不等式的解法；利用集合的關系求集合；利用判別式判斷二次方程根的情況．