Question

設函數f(x)=x-2+

1

x-4

的圖象為c₁，c₁關于點A（2，1）對稱的圖象為c₂，c₂對應的函數為g（x）．
（1）求g（x）的表達式；
（2）解不等式logag(x)≤loga

5

2

(a＞0，a≠1)．

Answer 1

分析：（1）設出函數圖象上的任意點的坐標，利用對稱性求出對稱點的坐標，代入已知方程，即可求出所求對稱的函數的解析式．
（2）直接轉化不等式，通過a的范圍討論大于1與a大于0小于1時，不等式的等價形式，然后求解即可．

解答：解：（1）設函數y=g（x）的圖象上任意一點為（x，y），
則關于A（2，1）的對稱點為（4-x，2-y），
又（4-x，2-y）在f(x)=x-2+

1

x-4

的圖象上，
所以，2-y=（4-x）-2+

1

(4-x)-4

=x+

1

x

，
即g（x） 的表達式為g（x）=x+

1

x

，（x≠0）．
（2）原不等式化為loga(x+

1

x

)≤loga

5

2

，
當1＜a時，有

x+ 1 x ＞0 x+ 1 x ≤ 5 2

，
解得

1

2

≤x≤2，
當0＜a＜1時，有

x+ 1 x ＞0 x+ 1 x ≥ 5 2

，解得0＜x≤

1

2

或x＞2，
綜上當a＞1時，不等式的解集為{x|

1

2

≤x≤2}，
當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|0＜x≤

1

2

或x＞2}．

點評：本題考查函數的圖象的對稱性，函數的解析式的求法，對數不等式的解法，分類討論思想的應用，考查計算能力．