Question

【題目】已知點，點在軸負半軸上，以為邊做菱形，且菱形對角線的交點在軸上，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點，其中，作曲線的切線，設切點為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意，求得菱形中心的坐標，進而由中心為中點，求得點坐標的參數形式，即可消參求得點的軌跡方程；

（2）利用導數幾何意義求得點處的切線方程，從而求得點坐標，據此求得之間的關系，再結合，即可表示出面積，將其轉化為關于的函數，利用函數單調性求函數值域即可.

（1）設，菱形的中心設為Q點，且在軸上，

由題意可得

則又為的中點，因此點，

即點的軌跡為（為參數且）

化為標準方程為.

（2）設點，則點的切線方程為.

可得

因此由，可得

又則

即

因此

令，則，故為單調增函數，

故可知當時，為關于的增函數，

又當時，；當時，.

因此的取值范圍是.