Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=2DC，AB∥DC，∠BCD=90°．
（Ⅰ）求證：PC⊥BC；
（Ⅱ）求多面體A-PBC的體積．

Answer 1

分析：（I）先由線面垂直的定義證明PD⊥BC，再由線面垂直的判定定理證明BC⊥平面PCD，從而證明結論；（II）先將所求三棱錐看做以三角形ABC為底的三棱錐，進而利用已知數據和線面關系，利用三棱錐的體積計算公式計算即可

解答：解：（I）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PD⊥BC，∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC，BC∩CD=C
∴BC⊥平面PCD，又PC?平面PCD
∴PC⊥BC
（II）連接AC，∵PD⊥平面ABCD
∴V_A-PBC=V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PD
∵AB∥DC，，∠BCD=90°
∴△ABC為直角三角形，且∠B=90°
∵PD=DC=BC=2，AB=2DC
∴V_A-PBC=V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PD=

1

3

×

1

2

×4×2×2=

8

3

∴多面體A-PBC的體積為

8

3

點評：本題考查了空間幾何體中的線面關系，三棱錐的體積計算公式和計算方法，線面垂直的定義和線面垂直的判定定理的運用，空間想象能力和計算能力