Question

已知函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)
（1）若定義域為R，求a范圍
（2）若值域為R，求a范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)的定義域為R，說明對任意實數(shù)x，對數(shù)式的真數(shù)恒大于0，而真數(shù)是二次三項式，由其對應(yīng)的二次方程的判別式小于0即可求得a的取值范圍，同時兼顧對數(shù)式的底數(shù)有意義；
（2）根據(jù)函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)的值域為R，說明對數(shù)式的真數(shù)能取到大于0的所有實數(shù)，則真數(shù)上的二次三項式對應(yīng)的拋物線頂點應(yīng)在x軸上或其下方，故其對應(yīng)的二次方程的判別式應(yīng)大于等于0，由此求解a的取值范圍．

解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)的定義域為R，
說明x²+ax+2＞0對任意實數(shù)恒成立，
則不等式x²+ax+2＞0對應(yīng)二次方程的△=a²-8＜0，即-2

2

＜a＜2

2

．
又a＞0且a≠1，所以，0＜a＜2

2

，且a≠1．
故使函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)的定義域為R的a的取值范圍是（0，1）∪（1，2

2

）；
（2）函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)的值域為R，
說明x²+ax+2能取到大于0的所有實數(shù)，
則不等式x²+ax+2＞0對應(yīng)二次方程的△=a²-8≥0，解得：a≤-2

2

或a≥2

2

．
又a＞0且a≠1，所以，使函數(shù)f(x)=loga(x2+ax+2)的值域為R的a的取值范圍是（2

2

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是由函數(shù)值域是R，得到真數(shù)的二次三項式的判別式大于等于0，是基礎(chǔ)題，解答時易忽略底數(shù)的限制條件，也是易錯題．