Question

已知正三棱錐P-ABC中，點P，A，B，C都在半徑為

3

的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則三棱錐P-ABC的體積為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  1

  2

• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：先將PA、PB、PC可看作是正方體的一個頂點發出的三條棱，所以過空間四個點P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，根據球的半徑求出對角線長，進而得出正三棱錐P-ABC的側棱長，從而求出三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：∵空間四個點P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，
則PA、PB、PC可看作是正方體的一個頂點發出的三條棱，
所以過空間四個點P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，
設PA=PB=PC=a，
∴

3

a=2

3

，∴a=2，
則三棱錐P-ABC的體積為

1

6

a3=

4

3

故選C．

點評：本題是基礎題，考查球的內接體知識，考查空間想象能力，計算能力，分析出，正方體的對角線就是球的直徑是解好本題的關鍵所在．