Question

判斷下列函數的奇偶性:

(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;

(2)f(x)=(x-1)·;

(3)f(x)=;

(4)f(x)=

Answer 1

剖析:根據函數奇偶性的定義進行判斷.

解:(1)函數的定義域x∈(-∞,+∞),對稱于原點.

    ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),

    ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函數.

    (2)先確定函數的定義域.由≥0,得?-1≤x＜1,其定義域不對稱于原點，

    所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數.

    (3)去掉絕對值符號，根據定義判斷.

    由

    得

    故f(x)的定義域為［-1，0］∪(0，1)，關于原點對稱，且有x+2＞0.從而有f(x)=，這時有f(-x)==-f(x),故f(x)為奇函數.

    (4)∵函數f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且當x＞0時，-x＜0,

    ∴f(-x)=(-x)［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x)(x＞0).當x＜0時，-x＞0,

    ∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x＜0).

    故函數f(x)為奇函數.

講評:(1)分段函數的奇偶性應分段證明.

    (2)判斷函數的奇偶性應先求定義域再化簡函數解析式.