Question

設圓Q過點P（0，2），且在x軸上截得的弦RG的長為4．
（1）求圓心Q的軌跡E的方程；
（2）過點F（0，1），作軌跡E的兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB、CD的中點分別為M，N，試判斷直線MN是否過定點？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）借助于圖象把已知條件轉化為|QR|²=|QH|²+|RH|²，就可求出圓心Q的軌跡E的方程；
（2）先利用條件求出AB的中點M的坐標與直線AB的斜率之間的關系式，以及CD的中點N與直線CD的斜率之間的關系式；再求出直線MN的方程，整理可以得到直線MN所過定點．
解答：解：（1）設圓心Q的坐標為（x、y），如圖過圓心Q作QH⊥x軸于H，
則H為RG的中點，在Rt△RHQ中，|QR|²=|QH|²+|RH|²
∵|QR|=|QP|，|RH|=2，
∴x²+（y-2）²=y²+4
即x²=4y，所以軌跡E的方程為x²=4y．（5分）

（2）設A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B），M（x_m，y_m）、N（x_N，y_N）
直線AB的方程為y=kx+1（k≠0），聯立x²=4y有：x²-4kx-4=0
∴，y_M=kx_M+1=2k²+1，
∴點M的坐標為（2k，2k²+1）．（7分）
同理可得：點N的坐標為．
直線MN的斜率為，
其方程為，整理得k（y-3）=（k²-1）x，
不論k為何值，點（0，3）均滿足方程，
∴直線MN恒過定點（0，3）．（12分）
點評：本題涉及到求軌跡方程問題．在求動點的軌跡方程時，一般是利用條件找到關于動點坐標的等式，整理可得所求方程．