Question

設f（x）是奇函數，對任意的實數x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f（x）＜0，則f（x）在區間[a，b]上有最小值

f（b）

．

Answer 1

分析：可對x、y都賦值為0，求出f（0），依據函數單調性的定義判斷函數的單調性，充分利用條件當x＞0時，有f（x）＜0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定單調性，最后求出所求即可．

解答：解：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
對f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R上遞減．
∴f（x）在區間[a，b]上有最小值 f（b）

點評：本題考點是抽象函數及其性質，在研究其奇偶性時本題采取了連續賦值的技巧，這是判斷抽象函數性質時常用的一種探究的方式，屬于中檔題．