Question

【題目】已知等差數列的前項和為，且滿足，.

（1）求數列的通項公式及前項和；

（2）求數列的前項和；

（3）若，如果對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， （2） （3）

【解析】

（1）設等差數列的首項為，公差為,由已知建立方程組,解之可得首項和公差，從而得出數列的通項和前n項和；

（2）分當時和當時，分別求和可得數列的前項和；

（3）由（1）得，作差得，討論n可得出的最大值，再由恒等式思想，建立關于t的不等式，可求得實數的取值范圍.

（1）設等差數列的首項為，公差為，由已知可得得,

所以，，；

（2）當時，，∴，

當時，，∴；

（3），則由，

①當時，，

②當時，.

③當時，，

所以，所以數列的最大值為，

又因為恒成立，所以，所以或.

所以實數的取值范圍是.