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已知函數(shù)f(x)=lg
a-x1+x

(Ⅰ)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在(-1,5]內(nèi)有意義,求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷并證明f(x)的單調(diào)性.
分析:(Ⅰ)由f(x)為奇函數(shù) 可得f(x)+f(-x)=0,即lg
a-x
1+x
+lg
a+x
1-x
=0
,即
(a-x)(a+x)
1-x2
=1
,由此可得a的值.
(Ⅱ)由題意可得f(x)在(-1,5]上
a-x
1+x
>0
恒成立,再由x+1>0,可得a-x>0,故a>x在(-1,5]上
恒成立,由此可得a的范圍.
(Ⅲ)當(dāng)a>5時,f(x)在定義域上為減函數(shù),求得f(x)定義域為(-1,a). 令-1<x1<x2<a,
由于 f(x1)-f(x2)=lg
a-x 1
1+x1
-lg
a-x2
1+x2
=lg
a-x1
1+x1
1+x2
a-x2
=lg
a-x1
a-x2
1+x2
1+x1
>0
,可得f(x1)>f(x2),從而得出結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(x)+f(-x)=0,
lg
a-x
1+x
+lg
a+x
1-x
=0
,∴
(a-x)(a+x)
1-x2
=1
,∴a=1.…(4分)
(Ⅱ)∵若f(x)在(-1,5]內(nèi)恒有意義,則在(-1,5]上
a-x
1+x
>0
恒成立,再由x+1>0,
∴a-x>0,∴a>x在(-1,5]上恒成立,∴a>5.…(8分)
(Ⅲ)當(dāng)a>5時,f(x)在定義域上為減函數(shù),…(10分)
a-x
1+x
>0,a>5
,得f(x)定義域為(-1,a). …(12分)
令-1<x1<x2<a,由于 f(x1)-f(x2)=lg
a-x 1
1+x1
-lg
a-x2
1+x2
=lg
a-x1
1+x1
1+x2
a-x2
=lg
a-x1
a-x2
1+x2
1+x1
,…(14分)
∵-1<x1<x2<a,∴a-x1>a-x2>0,1+x2>1+x1>0,∴
a-x1
a-x2
>1  , 
1+x2
1+x1
>1

a-x1
a-x2
1+x2
1+x1
>1
,∴lg
a-x1
a-x2
1+x2
1+x1
>0
,∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),∴f(x1)在(-1,a)為減函數(shù).…(16分)
點評:本題主要考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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2(x-1)
x+1
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x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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1
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}的前n項和為Sn,則S2012的值為(  )

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3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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