Question

若實數x，y，m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（Ⅰ）若x²-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數f（x）的定義域D={x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據定義列出不等式即可求出；
（Ⅱ）通過解出|sinx|＞|cosx|、|sinx|＜|cosx|，即可求出f（x）的解析式及定義域；

解答：解：（Ⅰ） 根據定義可得：|x²-1|＞1，∴x²-1＞1或x²-1＜-1，解得x∈(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)；
（Ⅱ）（1）①若|sinx|＞|cosx|，（*）
則當x=kπ+

π

2

(k∈Z)時，cosx=0，上式（*）成立，此時，f（x）=sinx；
則當x≠kπ+

π

2

（k∈Z）時，（*）可化為|tanx|＞1，即tanx＞1或tanx＜-1，
解得x∈(kπ+

π

4

，kπ+

π

2

)∪(kπ+

π

2

，kπ+

3π

4

)．
綜上可知：當x∈(kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

)（k∈Z）時，f（x）=sinx；
②若|sinx|＜|cosx|，由①可知：x∈(kπ-

π

4

，kπ+

π

4

)（k∈Z）．
∴f(x)=

sinx，x∈(kπ+ π 4 ，kπ+ 3π 4 )k∈Z cosx，x∈(kπ- π 4 ，kπ+ π 4 )k∈Z

．
（2）其基本性質如下：①解析式與定義域見上；②畫出圖象如圖所示：
③值域為[-1，-

2

2

)∪(

2

2

，1]；④非奇非偶函數；⑤在定義域內不單調；⑥是周期為2π的函數．

點評：周期理解新定義、熟練掌握三角函數的圖象和性質及一元二次不等式的解法是解題的關鍵．