Question

線段AB過點M(m,0)(m>0,如右圖),并且點A、B到x軸的距離之積為4m,拋物線C以x軸為對稱軸且經過O、A、B三點.

(1)求拋物線C的方程;

(2)當m=1,|AM|=2|MB|時,求直線AB的方程.

Answer 1

解析:(1)由題意可設拋物線的方程為y²=2px(p>0).

當線段AB垂直于x軸時,A、B的坐標為(m,±2),

∴(2)²=2p·.∴2p=4.

當線段AB與x軸不垂直時,設直線AB的斜率為k(k≠0),則直線AB的方程為y=k(x-m).

由得y²-y-2pm=0.

∴A、B兩點的縱坐標的積為-2pm.

由題知|-2pm|=4m,∴2p=4.

綜上所述，拋物線C的方程為y²=4x.

(2)設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由(1)可得y²-y-4=0.?

∴

∵M的縱坐標為0,|AM|=2|MB|,

∴=0,即y₁=-2y₂.

把y₁=-2y₂,代入

得消去y₂,得k=±2.

∴直線AB的方程為y=±2(x-1).?

溫馨提示:當設直線的點斜式方程時,應首先考慮直線的斜率是否存在.