Question

已知函數(shù)．

（1）判斷的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）令，若函數(shù)在（0，）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增;（2）2；（3）

【解析】

試題分析：（1）首先表示出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；

（2）首先確定函數(shù)的定義域，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的特殊值，由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

首先確定函數(shù)的定義域，化簡其解析式并求其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件將問題轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)數(shù)在（0，）內(nèi)有零點(diǎn)，然后再用一元二次方程根的分布理論去求解．

試題解析：（1）設(shè)，

，所以在上單調(diào)遞增；

由（1）知：，且在上單調(diào)遞增，

所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，

又，顯然是的一個(gè)零點(diǎn)，

所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021006010743875596/SYS201502100601190329130687_DA/SYS201502100601190329130687_DA.004.png">=，

所以，

設(shè)，

則有兩個(gè)不同的根，且一根在內(nèi),

不妨設(shè)，由于，所以,

由于,則只需，即

解得

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在的判斷以及性質(zhì)的綜合應(yīng)用．