Question

已知函數f（x）=ax-1n（1+x²）
（1）當a=

4

5

時，求函數f（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）證明：當x＞0時，1n（1+x²）＜x；
（3）證明：(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e為自然對數的底數）

Answer 1

分析：（1）當a=

4

5

時，先求出f′（x）=

4

5

-

2x

1+x2

=

4x2-10x+4

5(1+x2)

，再由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=2，由此能求出當a=

4

5

時，求函數f（x）在（0，+∞）上的極值．
（2）令g（x）=x-ln（1+x²），g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，故g（x）在（0，+∞）上是增函數，由此能夠證明當x＞0時，1n（1+x²）＜x．
（3）由ln（x²+1）＜x，取x=

1

22

，

1

32

，…，

1

n2

，能夠證明(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e為自然對數的底數）．

解答：（1）解：當a=

4

5

時，f（x）=

4

5

x-ln(1+x2)，
∴f′（x）=

4

5

-

2x

1+x2

=

4x2-10x+4

5(1+x2)

，
由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=2，
∵f（x）在（0，

1

2

）上遞增，在（

1

2

，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）極大值為f（

1

2

）=

2

5

-ln

5

4

，f（x）極小值為f（2）=

8

5

-ln5．
（2）證明：令g（x）=x-ln（1+x²），
g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ln（1+x²）＜x．
（3）證明：由（2）得ln（x²+1）＜x，
取x=

1

22

，

1

32

，…，

1

n2

，
∴ln（1+

1

24

）+ln（1+

1

34

）+…+ln（1+

1

n4

）
＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

＜1，
∴(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e為自然對數的底數）．

點評：本題考查函數的極值的求法，考查不等式的證明，綜合性強，難度大，具有一定的探索性，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．