Question

如圖，圓柱的高為2，底面半徑為3，AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點,已知四邊形ABCD是正方形.

（1）求證：；

（2）求正方形ABCD的邊長；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1） AE是圓柱的母線底面BEFC, 又面BEFC    

又ABCD是正方形 又面ABE 

又面ABE          …… 3分

（2）四邊形為矩形，且ABCD是正方形 EFBC          

        四邊形EFBC為矩形 

BF為圓柱下底面的直徑           …… 4分      

設正方形ABCD的邊長為，則AD=EF=AB=

在直角中AE=2，AB=，且BE²+AE= AB，得BE=²-4        

在直角中BF=6，EF=，且BE+EF= BF，的BE²=36-²        …… 6分

解得=，即正方形ABCD的邊長為                        …… 7分

（3）如圖以F為原點建立空間直角坐標系,則A(，0，2),B(，4，0),

E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0) 

設面AEF的法向量為(，，)，則

令，則即(，，-)               …… 11分

設直線與平面所成角的大小為，則

   …… 12分

所以直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】(1)證明線線垂直，可以通過證明線面垂直來解決.本題只要證即可.（2）在中求AB的長，在中求BC的長，然后根據AB=BC即可求出BE的長度.進而確定正方形ABCD的邊長.

（3）可以借助向量建系來解決，也可以利用三垂線定理作出直線FE與平面ABF所成的角.然后再求解.