Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：直線A₁B∥平面ACD₁
（2）求證：AC⊥BD₁．

Answer 1

分析：（1）首先證明四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，然后利用直線與平面平行的判定定理證明直線A₁B∥平面ACD₁
（2）通過證明AC⊥平面BDD₁，利用直線與平面垂直的性質定理證明AC⊥BD₁．

解答：證明：（1）連接A₁B，由已知得：A₁D₁

∥

.

BC，
四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，
∴A₁B∥D₁C，由D₁C?平面D₁AC，∴A₁B∥平面AD₁C．
（2）∵AC⊥DB，AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，BD、DD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，又BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理以及直線與平面平行的性質定理的應用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．