Question

（2006•南匯區(qū)二模）如圖ABCD為正方形，EF∥AB，且DE：EA=3：4，EF交AC于Q，沿EF將正方形折成直二面角，
（1）求AC與EF所成角的正切值；
（2）求∠AQC的大�。�

Answer 1

分析：解法一（1）AC與EF所成角的正切值，就是AC與CD所成角的正切值，利用直角三角形求解即可；
（2）直接利用余弦定理在三角形中求∠AQC的大小．
解法二（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積直接求AC與EF所成角的正切值；
（2）通過向量的數(shù)量積直接求∠AQC的大小．

解答：（12分）解法一：（1）不妨設(shè)CF=3，BF=4，則CB=5，EF=7，AC與EF所成的角即為∠CAB，易證△ABC為直角三角形，

∴tan∠CAB=

5

7

；…（6分）
（2）CQ=3

2

，AQ=4

2

，AC=

74

，由余弦定理
cos∠AQC=

18+32-74

2•3 2 •4 2

=-

1

2

，∴∠AQC=120°．…（12分）
解法二：（1）設(shè)正方形的邊長為7．以E為原點(diǎn)，EF為x軸，以EA為y軸，ED為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，0，0），A（0，4，0），F(xiàn)（7，0，0），C（7，0，3），Q（4，0，0）．
則

AC

=(7，-4，-3)，

EF

=(7，0，0)，

QA

=(-4，4，0)，

QC

=(3，0，3)
設(shè)AC與EF所成角為θ，則cosθ=

AC • EF

| AC |•| EF |

=

7

74

∴tanθ=

5

7

…（6分）
（2）cos∠AQC=

QA • QC

| QA •| QC ||

=-

1

2

∴∠AQC=120°．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角以及三角形角的求法，考查計算能力．