Question

一彈性小球自h=5 m高處自由下落，當它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的，不計每次碰撞時間，計算小球從開始下落到停止運動所經(jīng)過的路程和時間．

Answer 1

【答案】分析：設小球第一次落地時速度為v，進而可表示出v，v_1…v_n，進而前三次小球下落的路程，歸納出球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程，進而的出從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程的極限；同理可歸納出小球從開始下落到第n次與地面相碰經(jīng)過時間，求出前n項和的極限即可得到答案．
解答：解：設小球第一次落地時速度為v，則有v==10（m/s），
那么第二，第三，，第n+1次落地速度分別為v₁=v，v₂=（）²v，，v_n=（）ⁿv，
小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為h=5m，
小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是L₁=2×=10×（．
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為L₂，則L₂=2×=10×（）⁴．
由數(shù)學歸納法可知，小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程為L_n=10×（）²ⁿ．
故從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程為
S_n+1=h+L₁+L₂++L_n，則整個過程總路程為
S=S_n+1=5+10×=5+10=20.3（m），
小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過時間t==1（s）．
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的時間t₁=2×=2×，
同理可得t_n=2×（）ⁿ，t_n+1=t+t₁+t₂++t_n，
則t=t_n+1=1+2×=8（s）．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式．可以通過歸納法歸納出其中包含的等比數(shù)列．