Question

已知點（n，a_n）（n∈N^*）在函數f（x）=-2x-2的圖象上，數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n是6S_n與8n的等差中項．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=b_n+8n+3，數列{d_n}滿足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求數列{d_n}的前n項和D_n；
（3）設g（x）是定義在正整數集上的函數，對于任意的正整數x₁，x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a為常數，a≠0），試判斷數列{

g( dn+1 2 )

dn+1

}是否為等差數列，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題考查求數列的通項公式，用數列的前n項和求是列的通項公式，注意對于第一項的驗證，又根據等比中項解決問題，這一道題目比較困難，第一問考查的內容較多．
（2）構造新數列，構造數列時按照一般的方式來整理，整理后發現結果比較簡單，利用等比數列的前n項和公式求數列的和．
（3）本題證明數列是一個等差數列，應用等差數列的定義來證明，只要數列的連續兩項之差是一個常數，問題得證，證明是一個常數的過程是一個數列和函數綜合的過程，用到所給的函數的性質．

解答：解：（Ⅰ）依題意得a_n=-2n-2，故a₁=-4．
又2T_n=6S_n+8n，即T_n=3S_n+4n，
∴當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=3（S_n-S_n-1）+4=3a_n+4=-6n-2．
又b₁=T₁=3S₁+4=3a₁+4=-8，也適合上式，
∴b_n=-6n-2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵c_n=b_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），
dn+1=cdn=2d_n+1，
因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
∴{d_n+1}是首項為d₁+1=4，公比為2的等比數列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴d_n=2ⁿ⁺¹-1．
D_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-n=

4(2n-1)

2-1

-n=2n+2-n-4．
（Ⅲ）g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)
則

g( dn+1 2 )

dn+1

=

g(2n)

2n+1

=

2n-1g(2)+2g(2n-1)

2n+1

=

a

4

+

g(2n-1)

2n

=

a

4

+

g( dn-1+1 2 )

dn-1+1

∴

g( dn+1 2 )

dn+1

-

g( dn-1+1 2 )

dn-1+1

=

a

4

因為已知a為常數，則數列{

g( dn+1 2 )

dn+1

}是等差數列．

點評：本題是一道綜合題，數列的遞推關系式往往比通項公式還重要，我們要重視數列的遞推關系式，依據遞推關系式的特點，選擇恰當的方法，達到解決問題的目的．