Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{Sn+λ•n+

λ

2n

}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說明理由．
（Ⅲ）求證：

1

6

≤

n

k=1

2-k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列{a_n}的前n項S_n與a_n的關系通過相減的思想得到數列相鄰項之間的關系式是解決本題的關鍵，證明出該數列是特殊數列，進而確定出其通項公式；
（Ⅱ）解法一：確定出數列{a_n}的前n項和為S_n的表達式是解決本題的關鍵，數列為等差數列首先保證其前3項滿足等差數列的關系，得出關于λ的方程，從而確定出λ的值；
解法二：先確定出數列{a_n}的前n項和為S_n的表達式，利用數列為等差數列的通項公式的特征尋找關于λ的方程，通過求解方程確定出λ的值；
（Ⅲ）對該和式的通項進行轉化是解決本題的關鍵，用到了裂項求和的思想，求出該和式，利用函數的單調性完成該不等式的證明．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：2a_n+1+S_n-2=0．①n≥2時，2a_n+S_n-1-2=0．②
①─②得2an+1-2an+an=0?

an+1

an

=

1

2

(n≥2)，
∵a1=1， 2a2+a1=2?a2=

1

2

．
∴{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，∴an=(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）解法一：∵Sn=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
若{Sn+λ•n+

λ

2n

}為等差數列，
則S1+λ+

λ

2

，S2+2λ+

λ

22

， S3+3λ+

λ

23

成等差數列，
2(S2+

9λ

4

)=S1+

3λ

2

+S3+

25λ

8

?2(

3

2

+

9λ

4

)=1+

3λ

2

+

7

4

+

25λ

8

，
得λ=2．
又λ=2時，Sn+2n+

2

2n

=2n+2，顯然{2n+2}成等差數列，
故存在實數λ=2，使得數列{Sn+λn+

λ

2n

}成等差數列．
解法二：∵Sn=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
∴Sn+λn+

λ

2n

=2-

1

2n-1

+λn+

λ

2n

=2+λn+(λ-2)

1

2n

．
欲使{Sn+λ•n+

λ

2n

}成等差數列，只須λ-2=0即λ=2便可．
故存在實數λ=2，使得數列{Sn+λn+

λ

2n

}成等差數列．
（Ⅲ）證明：∵

1

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

( 1 2k-1 +1)( 1 2k +1)

=2k(

1

1 2k +1

-

1

1 2k-1 +1

)
∴

n

k=1

2-k

(ak+1)(akt+1+1)

=

n

k=1

(

1

1 2k +1

-

1

1 2k-1 +1

)
=(

1

1 2 +1

-

1

1+1

)+(

1

1 22 +1

-

1

1 2 +1

)+…+(

1

1 2t +1

-

1

1 2k-1 +1

)
=-

1

1+1

+

1

1 2k +1

=

2k

2k+1

-

1

2

又函數y=

2x

2x+1

=

1

1 2x +1

在x∈[1，+∞）上為增函數，
∴

21

21+1

≤

2k

2k+1

＜1，
∴

2

3

-

1

2

≤

2k

2k+1

-

1

2

＜1-

1

2

，

1

6

≤

n

k=1

2-k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

2

．

點評：本題屬于數列與不等式的綜合問題，考查學生的轉化與化歸的思想，考查學生分析問題解決問題的能力和意識，要用好數列的前n項 S_n與a_n的關系，等差數列、等比數列有關公式，裂項求和的思想和方法，數列的函數意識．