Question

【題目】已知數列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）

（Ⅰ）證明當n≥2時，數列{nan}是等比數列，并求數列{an}的通項an；

（Ⅱ）求數列{n2an}的前n項和Tn；

（Ⅲ）對任意n∈N*，使得 恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)

【解析】

（Ⅰ）要證明數列{nan}是等比數列，應先求其通項公式，然后用等比數列定義證明即可。由等比數列通向公式可求得數列{nan}的通項公式，進而可求數列{an}的通項an；（Ⅱ）要求數列{n2an}的前n項和Tn，應根據（Ⅰ）的結果求其通項公式，由通項公式的特點可用錯位相減法求數列從第二項到第n項的和，再加第一項可得結果；（Ⅲ） 根據（Ⅰ）的結果，不等式可變為，利用基本不等式，可求得不等式右邊的最大值為。可求實數λ的最小值為。

（Ⅰ）[證明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2），

①﹣②：，即（n≥2），∴當n≥2時，數列{nan}是等比數列，

又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，則2a2=2，∴，

∴（n≥2），∴；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，則，

兩式作差得：，得：；

（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，

即對任意n∈N*恒成立．

當n=2或n=3時n+有最小值為5，有最大值為，故有λ≥，∴實數λ的最小值為．