Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函數f（x）圖象關于原點中心對稱，其圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，
且．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若在[0，2]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若數列{a_n}滿足a_n+1=g（a_n），a₁=2，（n∈N^*），
試證明：

Answer 1

解：（1）因為函數f（x）關于原點對稱，所以b=d=0，所以f（x）=ax³+cx，
又有f′（x）=3ax²+c，又函數f（x）在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，
所以f′（3）=3a×9+c=8，f（3）=27a+3c=6，
所以即．

（2）在[0，2]上恒成立，即，
即證在[0，2]上恒成立，
令，則h′（x）=x²-3x+2，令h′（x）=x²-3x+2=0，
則x₁=1，x₂=2
則有當x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）遞增；
當1＜x＜3時，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，3）遞減；
當x＞3時，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）遞增；
所以，
所以函數h（x）在[0，2]的最小值為0，所以有0＞a²+a，即-1＜a＜0

（3），由a_n+1=g（a_n），a₁=2，
所以a_n+1=a_n²+1＞a_n²＞0，
所以lna_n+1＞2lna_n＞2²lna_n-1＞＞2^n-1ln2，
所以，則有，
所以（14分）
分析：（1）因為函數f（x）關于原點對稱，所以f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，函數f（x）在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，所以f（3）=27a+3c=6，由此導出．
（2）在[0，2]上恒成立，令，則h′（x）=x²-3x+2，令h′（x）=x²-3x+2=0，則x₁=1，x₂=2，再由函數的單調性導出函數h（x）在[0，2]的最小值為0，所以有0＞a²+a，即-1＜a＜0．
（3），由a_n+1=g（a_n），a₁=2，所以，則有，從而證明．
點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．