Question

設f（x）是定義在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x₁，x₂∈（0，1），恒有，則關于函數f（x）有
（1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）＜f（x₂）；
（4）對任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），
上述四個命題中正確的有    ．

Answer 1

【答案】分析：觀察四個命題（1）（2）兩個不能同時成立，（3）（4）兩個不能同時成立，對于命題（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，即可得到結合已知條件②即可得到（2）是正確的；對于（3）（4）對條件中的兩個變量x₁，x₂交換位置可得兩式相加即可得到結論．
解答：解：由于命題（1）（2）兩個不能同時成立，（3）（4）兩個不能同時成立，
對于命題（1）（2），令x₁=x，x₂=1-x，結合①則有，等號當時成立
又由②知，由此知=1，即f（x）=f（1-x），故（2）對；
對于（3）（4），將②中的變量x₁，x₂交換位置可得
故有等號當且僅當=1，=1時成立
 又由①即基本不等式知等號當且僅當=1，=1時成立
故有=1，即對任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），（4）正確
綜上知（2）（4）正確．
故答案為（2）（4）．
點評：本題考點是抽象函數及其應用，解決本題的關鍵是構造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據，本題較抽象，要求解題者構造證明問題的意識要強．入手難，難度較大．