Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（1）求證：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．

Answer 1

（I）證明：∵DE²=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE²=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴3²=2EC，∴．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，
∴BP=EP-EB=．
∵PA是⊙O的切線，∴PA²=PB•PC，
∴，解得．
分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對頂角的性質即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，進而證明結論；
（II）利用（I）的結論可得BP=，再利用切割線定理可得PA²=PB•PC，即可得出PA．
點評：熟練掌握相似三角形的判定和性質定理、平行線的性質、對頂角的性質、相交弦定理、切割線定理是解題的關鍵．