Question

關于函數y=f（x），有下列命題：
①若a∈[-2，2]，則函數f(x)=

x2+ax+1

的定義域為R；
②若f(x)=log

1

2

(x2-3x+2)，則f（x）的單調增區間為(-∞，

3

2

)；
③若f(x)=

1

x2-x-2

，則值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
④定義在R上的函數f（x），若對任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），則4是y=f（x）的一個周期；
⑤已知a＞0，b＞0，則

1

a

+

1

b

+2

ab

的最小值是4．     
其中真命題的編號是

①④⑤

．

Answer 1

分析：①f(x)=

x2+ax+1

的定義域為{x|x²+ax+1≥0}，設t=x²+ax+1，當a∈[-2，2]時，△=a²-4≤0，故函數f(x)=

x2+ax+1

的定義域為R；②f(x)=log

1

2

(x2-3x+2)的定義域是{x|x²-3x+2＞0}，
即{x|x＜1，或x＞2}，對稱軸是x=

3

2

，故f（x）的單調增區間是（-∞，1）；③設y=f(x)=

1

x2-x-2

，則yx²-yx-2y-1=0，由此得到f(x)=

1

x2-x-2

的值域是{y|y＞0，或y≤-

1

3

}；④定義在R上的函數f（x），
若對任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），則f（x+4）=f（1-x-3）=f（-x-2）=-f（x+2）=-f（1-x-1）=-f（-x）=f（x），故4是y=f（x）的一個周期；⑤由a＞0，b＞0，知

1

a

+

1

b

+2

ab

≥2

1 ab

+2

ab

≥2

2 1 ab •2 ab

=4．

解答：解：①f(x)=

x2+ax+1

的定義域為{x|x²+ax+1≥0}，
設t=x²+ax+1，當a∈[-2，2]時，△=a²-4≤0，
∴x²+ax+1≥0的解集是R，故函數f(x)=

x2+ax+1

的定義域為R，故①正確；
②f(x)=log

1

2

(x2-3x+2)的定義域是{x|x²-3x+2＞0}，
即{x|x＜1，或x＞2}，對稱軸是x=

3

2

，
∴f（x）的單調增區間是（-∞，1），故②不正確；
③設y=f(x)=

1

x2-x-2

，則yx²-yx-2y-1=0，
當y≠0時，△=y²+8y²+4y≥0，
解得y＞0，或y≤-

1

3

，
當y=0時，f(x)=

1

x2-x-2

=0，不成立，
∴f(x)=

1

x2-x-2

的值域是{y|y＞0，或y≤-

1

3

}，故③不成立；
④定義在R上的函數f（x），
若對任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），
則f（x+4）=f（1-x-3）=f（-x-2）=-f（x+2）=-f（1-x-1）=-f（-x）=f（x），
∴4是y=f（x）的一個周期，故④正確；
⑤∵a＞0，b＞0，∴

1

a

+

1

b

+2

ab

≥2

1 ab

+2

ab

≥2

2 1 ab •2 ab

=4，
∴

1

a

+

1

b

+2

ab

的最小值是4，故⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查命題的真假的判斷和應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意函數的定義域、單調性、值域和周期性的合理運用．