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已知函數f(x)=
lnx+kex
(k
為常數,e=2.71828…是自然對數的底數),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調區間.
分析:(1)求出函數的導函數,函數在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,說明f(1)=0,則k值可求;
(2)求出函數的定義域,然后讓導函數等于0求出極值點,借助于導函數在各區間內的符號求函數f(x)的單調區間.
解答:解:(1)因為函數f(x)=
lnx+k
ex
,所以f(x)=
(lnx+k)ex-(lnx+k)•ex
e2x
=
1
x
ex-lnx•ex-k•ex
e2x
,
因為曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,
所以f(1)=0,即
e-e•ln1-ke
e2
=0
,解得k=1;
(2)函數f(x)的定義域為(0,+∞),
f(x)=
(
1
x
-lnx-1)ex
e2x

令g(x)=
1
x
-lnx-1
,此函數只有一個零點1,且當x>1時,g(x)<0,當0<x<1時,g(x)>0,
所以當x>1時,f(x)<0,所以原函數在(1,+∞)上為減函數;當0<x<1時,f(x)>0,所以原函數在(0,1)上為增函數.
故函數f(x)的增區間為(0,1),減區間為(1,+∞).
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性,考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值.掌握不等式恒成立時所取的條件.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數a,b的值:
(2)當a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數),直線l與函數f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調性;
(2)設f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數,x∈R,a∈R.
(1)當1<a<2時,若f(x)在區間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數.

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