Question

已知函數f(x)=

lnx+k

ex

(k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，函數在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f^′（1）=0，則k值可求；
（2）求出函數的定義域，然后讓導函數等于0求出極值點，借助于導函數在各區間內的符號求函數f（x）的單調區間．

解答：解：（1）因為函數f(x)=

lnx+k

ex

，所以f′(x)=

(lnx+k)′•ex-(lnx+k)•ex

e2x

=

1 x •ex-lnx•ex-k•ex

e2x

，
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
所以f^′（1）=0，即

e-e•ln1-ke

e2

=0，解得k=1；
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
由f′(x)=

( 1 x -lnx-1)ex

e2x

，
令g（x）=

1

x

-lnx-1，此函數只有一個零點1，且當x＞1時，g（x）＜0，當0＜x＜1時，g（x）＞0，
所以當x＞1時，f^′（x）＜0，所以原函數在（1，+∞）上為減函數；當0＜x＜1時，f^′（x）＞0，所以原函數在（0，1）上為增函數．
故函數f（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．