Question

已知函數f（x）=

x+a-1

x+2a

，（a＞0），
（Ⅰ）當f（x）∈[

1

2

，

4

5

]時，求x的取值范圍．
（Ⅱ）若f（0）=0，正項數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），
①證明{

1

an

+1}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
②若S_n是數列{a_n}的前n項和，證明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

，解分式不等式可求x的范圍
（2）①由f（0）=0，可求a，進而可求f（x），由a_n+1=f（a_n）可得，

1

an+1

=

2

an

+1，構造

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，可知數列{

1

an

+1}是等比數列，可求

1

an

+1，進而可求a_n
②由an=

1

2n-1

＜

1

2

•

1

2n-1-1

=

1

2

an-1可證明an＜

1

2n-1

a1=

1

2n-1

，可證

解答：解：（1）∵f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，
∴

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

∴

x+a-1 x+2a ≥ 1 2 x+a-1 x+2a ≤ 4 5

∴

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

又a＞0，
所以

x＜-2a或x≥2 -2a＜x≤3a+5

∴2≤x≤3a+5
（2）①∵f（0）=0，
∴a=1，f（x）=

x

x+2

，
由a_n+1=f（a_n），可得，

1

an+1

=

2

an

+1，
即

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)
∵a₁=1
∴

1

a1

+1=2
∴數列{

1

an

+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列
∴

1

an

+1=2ⁿ
∴an=

1

2n-1

②∴an=

1

2n-1

＜

1

2

•

1

2n-1-1

=

1

2

an-1
∴an＜

1

2n-1

a1=

1

2n-1

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2

點評：本題主要考查了利用待定系數求解函數的解析式，等比數列的 定義法的證明，及等比數列的 通項公式的應用，等比數列的求和公式的應用等知識的綜合．