Question

定義：若各項為正實數的數列{a_n}滿足a_n+1=

an

(n∈N*)，則稱數列{a_n}為“算術平方根遞推數列”．已知數列{x_n}滿足x_n＞0，n∈N^*，且x₁=

9

2

，點（x_n+1，x_n）在二次函數f（x）=2x²+2x的圖象上．
（1）試判斷數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列？若是，請說明你的理由；
（2）記y_n=lg（2x_n+1）（n∈N^*），求證：數列{y_n}是等比數列，并求出通項公式y_n；
（3）從數列{y_n}中依據某種順序自左至右取出其中的項y_n1，y_n2，y_n3，…，把這些項重新組成一個新數列{z_n}：z₁=y_n1，z₂=y_n2，z₃=y_n3，…．
（理科）若數列{z_n}是首項為z1=(

1

2

)m-1、公比為q=

1

2k

(m，k∈N*)的無窮等比數列，且數列{z_n}各項的和為

16

63

，求正整數k、m的值．
（文科） 若數列{z_n}是首項為z1=(

1

2

)m-1，公比為q=

1

2k

(m，k∈N*)的無窮等比數列，且數列{z_n}各項的和為

1

3

，求正整數k、m的值．

Answer 1

考點：等比數列的性質,二次函數的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列，利用點（x_n+1，x_n）在二次函數f（x）=2x²+2x的圖象上，可得x_n=2x_n+1²+2x_n+1，即可證明2x_n+1+1=

2xn+1

，從而數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列；
（2）由y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=

2xn+1

，可得y_n+1=

1

2

y_n，即可證明∴數列{y_n}是首項為1，公比為

1

2

等比數列，從而求出通項公式y_n；
（3）理：由題意可得數列{z_n}的首項為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，可得

16

2k

+

63

2m-1

=16，再分類討論，可得正整數k、m的值；
文：由題意可得數列{z_n}的首項為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，可得

1

2k

+

3

2m-1

=1，再分類討論，可得正整數k、m的值．

解答： 解：（1）數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列，證明如下：
∵點（x_n+1，x_n）在二次函數f（x）=2x²+2x的圖象上，
∴x_n=2x_n+1²+2x_n+1，
∴2x_n+1=（2x_n+1+1）²，
∵x_n＞0，n∈N^*，
∴2x_n+1+1=

2xn+1

，
∴數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列；
（2）∵y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=

2xn+1

，
∴y_n+1=

1

2

y_n，
∵y₁=lg（2x₁+1）=1，
∴數列{y_n}是首項為1，公比為

1

2

等比數列，
∴通項公式y_n=(

1

2

)n-1
（3）理：由題意可得數列{z_n}的首項為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，
∴

1 2m-1

1- 1 2k

=

16

63

，
∴

16

2k

+

63

2m-1

=16，
若m-1≥3，則

16

2k

+

63

2m-1

≤

16

2k

+

63

8

＜

16

2

+

63

8

＜16，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1時，

16

2k

+

63

2m-1

＞16，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=6；
（文）：由題意可得數列{z_n}的首項為

1

2m-1

，公比為

1

2k

，
∴

1 2m-1

1- 1 2k

=

1

3

，
∴

1

2k

+

3

2m-1

=1，
若m-1≥3，則

1

2k

+

3

2m-1

≤

1

2k

+

3

8

＜

1

2

+

3

8

＜1，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1時，

1

2k

+

3

2m-1

＞1，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=2．

點評：本題考查新定義，考查等比數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．