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（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，求
a
•
b
的值；
（2）設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線．如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，
求證：A、B、D三點共線．
分析：（1）由(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=4
a
2-4
a
•
b
-3
b
2，把已知代入可求
a
•
b

（2）要證A、B、D三點共線，只要證明
AB
與
BD
共線即可
解答：（1）解：∵|
a
|=4，|
b
|=3
∴(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=4
a
2-4
a
•
b
-3
b
2=-3×9+4×16-4
a
•
b
=61
∴
a
•
b
=-6
（2）證明：∵
BD
=
BC
+
CD
=5(
e
1+
e
2)=5
AB

∴
AB
與
BD
有且僅有一個公共點B
∴A，B，D三點共線
點評：本題主要考查了向量的數量積的定義及性質的應用，向量共線定理的應用及向量共線與點共線的相互轉換．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

16、已知A={4，a2}，B={a-6，1+a，9}，如果A∩B={9}，求A∪B．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知
a
=(4，2)，求與
a
垂直的一個單位向量的坐標．
（2）若|
a
|=2，|
b
|=1，且
a
與
b
的夾角為120°，求|
a
+
b
|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61，求
a
與
b
的夾角θ；
（2）設
OA
=（2，5），
OB
=（3，1），
OC
=（6，3），在
OC
上是否存在點M，使
MA
⊥
MB
，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，求
a
•
b
的值；
（2）設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線．如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，
求證：A、B、D三點共線．

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