Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，過點C的直線VC垂直于平面ABC，D、E分別為線段VA、VC上異于端點的點．
（1）當DE⊥平面VBC時，判斷直線DE與平面ABC的位置關系，并說明理由；
（2）當D、E、F分別為線段VA、VC、AB上的中點，且VC=2BC時，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE∥平面ABC．

∵VC平面VBC，DE⊥平面VBC，

∴DE⊥VC，

∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，

∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，

∵DE平面ABC，AC平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

（2）解：∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，

∵D，F分別為VA，AB的中點，

∴DF∥VB，∴DE⊥DF，

∴BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小．

∵VC=2BC，∴VE=BC，VB= BC，∴BE= BC，

∴cos∠VBE= = ，

∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）證明DE∥AC，即可判斷直線DE與平面ABC的位置關系；（2）BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小，利用余弦定理，即可求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與平面之間的位置關系(直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點)．