Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5，若x=-2時(shí)，f（x）有極值，且曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線斜率為3，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）是取到極大值還是極小值，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后根據(jù)極值的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，再利用列表法討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極大值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b．
由題意，得

f′(-2)=12-4a+b=0 f′(1)=3+2a+b=3.

解得

a=2 b=-4.

所以，f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）由（1）知f'（x）=x²+4x-4=（x+2）（3x-2）．，令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

.
列表如下：

∴由上表可知，當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取到極大值

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)解析式的求解等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．