Question

已知動圓與直線x=-1相切，且過定點F（1，0），動圓圓心為M．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點，且（O為坐標原點），求證：直線l過一定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的定義和題設中的條件可知點M是以F（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，焦點到準線的距離p=2，進而求得拋物線方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入到求得x₁x₂+y₁y₂=5，把A，B坐標代入拋物線方程進而求得Þy₁²y₂²=16x₁x₂②聯立方程求得y₁y₂和（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），進而看當x₁=x₂時，AB⊥x軸，進而根據x₁²-y₁²=5和y₁²=4x₁求得x，即AB的方程；當
x₁≠x₂，進而求得AB的斜率，根據點A表示出AB的直線方程整理可知過定點（5，0），綜合結論可得．
解答：解：（1）由已知，點M到直線x=-1的距離等于到點（1，0）的距離，所以點M是以F（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，焦點到準線的距離p=2，
∴點M的軌跡方程為y²=4x
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由可得：x₁x₂+y₁y₂=5①
∵A、B均在拋物線上，
∴Þy₁²y₂²=16x₁x₂②
由①②可得：y₁²y₂²=16（5-y₁y₂）即y₁²y₂²+16y₁y₂-80=0，
∴y₁y₂=-20或y₁y₂=4（舍去）
再由相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
若x₁=x₂，則AB⊥x軸，y₂=-y₁，由①：x₁²-y₁²=5，結合y₁²=4x₁得：x₁=5，
∴此時AB的方程為x=5
若x₁≠x₂，則，即為直線AB的斜率，而，則AB的方程為：，
即，
∴也過定點（5，0）
綜上得：直線AB過定點（5，0）
點評：本題主要考查了雙曲線的應用．涉及了直線與雙曲線的關系，解析幾何的知識，綜合性很強．