Question

已知數列的前項和為，且滿足，

（Ⅰ）求，, ，并猜想的表達式；

（Ⅱ）用數學歸納法證明所得的結論。

Answer 1

（Ⅰ） a＝, a＝, a＝,猜測 a＝2－ 

   （Ⅱ）證明見解析 

解析:

（Ⅰ）a＝, a＝, a＝,     ---------3分 

猜測 a＝2－                    ---------------6分

（Ⅱ）①由（1）已得當n＝1時，命題成立；       --------8分

②假設n＝k時,命題成立，即 a＝2－,      

當n＝k＋1時, a+ a＋……a＋a＋a＝2(k＋1)＋1, ----------10分

且a+ a＋……＋a＝2k＋1－a

∴2k＋1－a＋2 a＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2 a＝2＋2－,  a＝2－,                 

  即當n＝k＋1時,命題成立.                       ----12分

根據①②得n∈N+  , an＝2－都成立      -----13分