Question

已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若

AB

+

AC

=2

AO

，且|

OA

|=|

AC

|，則向量

AB

在向量

BC

方向上的投影為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  2

• C．3
• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：利用已知可得四邊形ABDC是矩形，利用|

OA

|=|

AC

|，可得△OAC是等邊三角形．于是向量

AB

在向量

BC

方向上的投影=|

AB

|cos(180°-30°)，得出即可．

解答：解：如圖所示，延長AO交⊙O于點D．連接BD、CD．
∵

AB

+

AC

=2

AO

，∴

AB

+

AC

=

AD

，∴四邊形ABDC是矩形．
∵|

OA

|=|

AC

|，∴△OAC是等邊三角形．
∴∠ACB=60°，又∠BAC=90°．
∴∠ABC=30°．
∵半徑為1，即BC=2．∴AB=

3

．
∴向量

AB

在向量

BC

方向上的投影=|

AB

|cos(180°-30°)=

3

×(-

3

2

)=-

3

2

．
故選D．

點評：熟練掌握向量的平行四邊形法則、矩形的定義、等邊三角形的定義、向量投影的意義等是解題的關鍵．