Question

函數f(x)=

x2+x+1

x2+1

的值域為

[

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：由函數f(x)=

x2+x+1

x2+1

，可得[f（x）-1]•x²-x+f（x）-1=0 ①．當 f（x）=1 時，可得x=0，滿足條件．當f（x）-1≠0時，由判別式△=1-4[f（x）-1]²≥0，求得f（x）的范圍．綜上可得函數f（x）的值域．

解答：解：由函數f(x)=

x2+x+1

x2+1

，可得[f（x）-1]•x²-x+f（x）-1=0 ①．
當 f（x）=1 時，可得x=0，滿足條件．
當f（x）-1≠0時，根據方程①必定有解，可得判別式△=1-4[f（x）-1]²≥0，可得 4f²（x）-8f（x）+3≤0，
解得

1

2

≤f（x）≤

3

2

，故有

1

2

≤f（x）≤

3

2

，且f（x）≠1．
綜上可得，函數f（x）的值域為 [

1

2

，

3

2

]，
故答案為[

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查用判別式法求函數的值域，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．