Question

已知函數.（）

（1）當時，求在區間[1，e]上的最大值和最小值；

（2）若在區間（1，+∞）上，函數的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當時，，；

對于[1，e]，有，∴在區間[1，e]上為增函數，

∴，.

（Ⅱ）令，則的定義域為（0，+∞）.

在區間（1，+∞）上函數的圖象恒在直線下方等價于在區間（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，

此時在區間(，+∞)上是增函數，并且在該區間上有

∈(，+∞)，不合題意；

當，即時，同理可知，在區間(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合題意；

② 若，則有，此時在區間(1，+∞)上恒有，

從而在區間(1，+∞)上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是[，].

綜合①②可知，當∈[，]時，

函數的圖象恒在直線下方.

解析:

⑴當時，，求其在給定區間上的最值，可以借助導數解決；⑵函數的圖象在直線的下方，說明在給定區間上恒成立，恒成立問題可以轉化為函數的最值來解決，再次利用導數計算求值.