Question

 

（本小題共12分）

（普通高中做）

     如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，點D是AB的中點，

   （I）求證：AC⊥BC₁；

   （II）求證：AC ₁//平面CDB₁；

   （III）求異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內的射影為BC，∴ AC⊥BC₁………4分

（II）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，∵ D是AB的中點，E是BC₁的中點，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；………8分

（III）∵ DE//AC₁，∴ ∠CED為AC₁與B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，

∴ ，

∴ 異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值.………12分