Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關系，再利用橢圓本身三個參數的關系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設出P的坐標，將其代入橢圓的方程得到P的坐標的關系，寫出A，B的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出
k₁，k₂，將P的坐標的關系代入k₁k₂化簡求出其值．
（III）設出M的坐標，求出P的坐標，利用兩點的距離公式將已知的幾何條件用坐標表示，通過對參數λ的討論，判斷出M的軌跡．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴，
即，
又，
即，
a²=b²+c²，
解得，c=1，
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設P（x，y）（y≠0），
，，
則，即，
則，，
即，
∴k₁•k₂為定值．
（Ⅲ）設M（x，y），其中．
由已知及點P在橢圓C上可得，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中．
①當時，化簡得y²=6，
所以點M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當時，方程變形為，其中，
當時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；
當時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓
點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去一個未知數，得到關于一個未知數的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．