Question

如圖，設平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分別為B，D，若增加一個條件，就能推出BD⊥EF．現有①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內的射影在同一條直線上；④AC∥EF．那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

①因為AC⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．
因為AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成為增加的條件．
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．所以②不可以成為增加的條件．
③AC與CD在β內的射影在同一條直線上
因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF與CD在β內的射影垂直，
AC與CD在β內的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC
因為AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成為增加的條件．
④若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成為增加的條件．
答案為：①③．
故選B．