Question

定義：關于x的兩個不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分別為（a，b）和(

1

b

，

1

a

)，則稱這兩個不等式為對偶不等式．如果不等式x2-4

3

xcosθ+1＜0與不等式x²+12xsinθ+1＜0為對偶不等式，且θ∈(

π

2

，π)，則θ=

5π

6

．

Answer 1

分析：先設出不等式x²-4

3

xcosθ+1＜0的對應方程兩個根為a、b，推出不等式x²-4

3

xcosθ+1＜0的對應方程兩個根為a、b，利用韋達定理，求得關于θ的三角方程，根據θ的范圍求解即可．

解答：解：設不等式x²-4

3

xcosθ+1＜0的解集為（a，b），由題意可得不等式x²+12xsinθ+1＜0的解集(

1

b

，

1

a

)，
由一元二次方程與不等式的關系可知，

ab=1 a+b=4 3 cosθ 1 a + 1 b =-12sinθ

整理可得，4

3

cosθ=-12sinθ
∴tanθ=-

3

3

，且θ∈（

π

2

，π），
∴θ=

5π

6

故答案為：

5π

6

點評：本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及根與系數的關系和韋達定理，同時考查了解三角方程，屬于中檔題．