Question

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經過點F₁（0，-c），F₂（0，c），A（c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓（其中a²-b²=c²）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由題設，得，由此能求出⊙M的方程．
（2）⊙M與x軸的兩個交點，，又B（b，0），D（-b，0），由題設，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）由，得．所以直線MF₁的方程為，由此能夠導出直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線上．
解答：解：（1）設⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設，得
解得
⊙M的方程為，
⊙M的標準方程為；（5分）
（2）⊙M與x軸的兩個交點，，
又B（b，0），D（-b，0），
由題設即
所以解得，
即．所以橢圓離心率的取值范圍為；（10分）
（3）由（1），得．
由題設，得．
∴，．
∴直線MF₁的方程為，
①直線DF₂的方程為．
②由①②，得直線MF₁與直線DF₂的交點，
易知為定值，
∴直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線上．（15分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意圓曲線的性質和公式的合理運用．