Question

已知等比數列{a_n}滿足a₁+a₆=11，且a₃a₄=

32

9

．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）如果至少存在一個自然數m，恰使

2

3

am-1，am2，a_m+1+

4

9

這三個數依次成等差數列，問這樣的等比數列{a_n}是否存在？若存在，求出通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）、根據等比數列的通項公式，把已知條件化為a₁，q；建立方程解之即可；
（2）、根據（1）中的通項公式，再根據恰使

2

3

am-1，am2，a_m+1+

4

9

這三個數依次成等差數列，分類建立方程，解之即可，注意取舍．

解答：解：（1）由題意得

a1 +a1q5=11 a1q2•a1q3= 32 9

，則

a1 = 32 3 q = 1 2

或

a1 = 1 3 q =2

∴a_n=

32

3

• (

1

2

)n-1=

1

3

•26-n或a_n=

1

3

•2n-1．
（2）對a_n=

1

3

•2n-1，若存在題設要求的m，則
2•（

1

3

•2^m-1_）2=

2

3

•

1

3

•2^m-2+

1

3

•2^m+

4

9

．
∴（2^m）²-7•2^m+8=0．
∴2^m=8，m=3．
對a_n=

1

3

•26-n，若存在題設要求的m，同理有（2^6-m）²-11•2^6-m-8=0．
而△=11²+16×8不是完全平方數，故此時所需的m不存在．
綜上所述，滿足條件的等比數列存在，且有a_n=

1

3

•2^n-1．

點評：本題考查了等比數列和等差數列，用到等比數列通項公式，等差中項，以及解方程．還有分類討論的數學思想．