Question

底面邊長為a正四棱錐S-ABCD內接于球O，過球心O的一個截面如圖，則球O的表面積為    ；A、B的球面距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知正四棱錐的底面對角線就是球的直徑，求出底面對角線長，即可求出球的半徑，然后求出球的表面積．直接求扇形OAB的弧長，就是A、B兩點間的球面距離．
解答：解：根據正四棱錐S-ABCD內接于球O，過球心O的一個截面如圖，
可知正四棱錐S-ABCD的底面對角線AC經過球心，對角線長等于球的直徑，
∵棱錐的底面邊長為a，
∴底面對角線長為：a，球的半徑為：a，
∴球的表面積為：=2πa²，
由題意可知A、B兩點間的球面距離：就是扇形OAB的劣弧的長，
且球心角∠AOB=，
∴A、B兩點間的球面距離：a×=．
故答案為：2πa²．
點評：本題考查球的內接多面體，球的表面積，球面距離、球面距離及相關計算，考查空間想象力，是基礎題．本題的突破口在正確處理截面圖形，明確球的直徑就是棱錐的底面對角線．