Question

如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F₁，F₂分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點Q的坐標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據三角形的面積公式及橢圓的定義列出關于橢圓的三個參數a，b，c的關系，再加上a，b，c本身的關系，通過解方程求出a，b，c，寫出橢圓的方程．
（II）假設存在滿足條件的點p，設出其坐標，根據兩點式寫出直線PF₁，PF₂的方程，根據圓的切線滿足圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出有關點p的坐標的方程，再利用點p的坐標滿足橢圓的方程，解方程組求得點p的坐標．
解答：解：（Ⅰ） 由題意知：
又，
∵a²=b²+c²
解得 b=c=2
∴橢圓的方程為
（Ⅱ）假設存在橢圓上的一點P（x，y），使得直線PF₁，PF₂與以Q為圓心的圓相切，
則Q到直線PF₁，PF₂的距離相等，
∵F₁（-2，0），F₂（2，0）
∴PF₂：（x-2）y-yx+2y=0； PF₁：（x+2）y-yx-2y=0

化簡整理得：8x²-40x+32+8y²=0
∵點在橢圓上，
∴x²+2y²=8
解得：x=2或 x=8（舍）   
x=2時，，r=1，
∴橢圓上存在點P，其坐標為或，
使得直線PF₁，PF₂與以Q為圓心的圓（x-1）²+y²=1相切
點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法，要注意橢圓的三個參數的關系為：a²=b²+c²；解決是否存在性問題，一般先假設存在，然后利用已知條件求，若求出即存在，求不出，說明不存在．